مەسىلە: ئۈستەل چەكلىمىسى
$500 لىق ئۈستەلدە $10 لىق مارتىنگال. ئۇ قانچىلىك دائىم بۇزۇلىدۇ، بۇزۇلغاندا قانچە يوقىتىدۇ، چەكلىمىنى ئۆستۈرۈش ياردەم بېرەمدۇ؟
ئارقا-ئارقىدىن ئالتە ئۇتتۇرۇش ئۇنى بۇزىدۇ: ھەر بىر دەۋردە 1.8%، 100 ئايلىنىشلىق ئويۇنلارنىڭ تەخمىنەن 60% ى. بۇزۇلۇش $630 غا چۈشىدۇ. چەكلىمىنى $5,000 غا ئۆستۈرۈش بۇزۇلۇشنى سىيرەكرەك (ھەر دەۋردە 0.25%) ۋە چوڭراق ($5,110) قىلىدۇ. تىكىلگەن ھەر دوللارغا كۈتۈلگەن زىيان ھەرقانداق چەكلىمىدە 2.70%.
مەسىلە
بىر ئويۇنچى قىزىلتىكىمقىزىل18 قىزىل سانغا تەڭ تۆلەملىك تىكىم. فرانسۇزچە: rouge.تولۇق ئوقۇش ← غا $10 تىكىپ، ھەر ئۇتتۇرغاندىن كېيىن ئىككى ھەسسە ئاشۇرىدۇ، ئۇتقاندىن كېيىن باشتىن باشلايدۇ. ئۈستەلنىڭ ئەڭ يۇقىرى چېكى $500. (a) ئارقا-ئارقىدىن قانچە ئۇتتۇرۇش تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپىئىستراتېگىيەتىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپىئالدىنقى نەتىجىلەرگە ئاساسەن تىكىمنى ئۆزگەرتىدىغان ھەر قانداق قائىدە. سەلبىي تەرتىپلەر ئۇنى ئۇتتۇرۇشتىن كېيىن، ئىجابىيلىرى ئۇتۇشتىن كېيىن ئاشۇرىدۇ.تولۇق ئوقۇش ← نى بۇزىدۇ؟ (b) ھەر دەۋردىكى ئېھتىماللىقماتېماتىكائېھتىماللىقبىر نەتىجىنىڭ پۇرسىتى، 0 دىن 1 گىچە ياكى 0% دىن 100% گىچە. بىر سان: 1/37 = 2.70%.تولۇق ئوقۇش ← قانچە؟ (c) بۇزۇلغاندا قانچە يوقىتىلىدۇ؟ (d) $5,000 لىق چەكلىمە جاۋابلارنى قانداق ئۆزگەرتىدۇ؟ (e) بىرەر چەكلىمە سىستېمىنى پايدىلىق قىلامدۇ؟
(a)–(c) نىڭ يېشىمى
تىكىملەر: 10، 20، 40، 80، 160، 320. يەتتىنچىسى 640 > 500 بولاتتى، شۇڭا ئالتە ئۇتتۇرۇش ئۇنى بۇزىدۇ. (b) قىزىلدا p(ئۇتتۇرۇش) = 19/37؛ (19/37)⁶ = 0.0183، ھەر دەۋردە تەخمىنەن 1.8%. بىر دەۋر ئوتتۇرىچە تەخمىنەن ئىككى ئايلىنىش داۋاملىشىدۇ، شۇڭا 100 ئايلىنىشلىق ئويۇندا تەخمىنەن 50 دەۋر بار ۋە p(كەم دېگەندە بىر بۇزۇلۇش) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، بۇ 63 ئاساسىي بىرلىكپۇلبىرلىكسىستېما ياكى ئويۇنچى ئىشلىتىدىغان ئاساسىي تىكىم. تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپلىرى ھەر قانداق ئۈستەلدە ئىشلىتىلسۇن دەپ بىرلىك بىلەن تەسۋىرلىنىدۇ.تولۇق ئوقۇش ←، دەۋر ئۇتماقچى بولغان $10 غا قارشى.
(d) نىڭ يېشىمى
$5,000 دا: 2,560 غىچە تىكىملەرگە رۇخسەت بار؛ ئونىنچى تىكىم، 5,120، رەت قىلىنىدۇ. توققۇز ئۇتتۇرۇش ئۇنى بۇزىدۇ: (19/37)⁹ ≈ ھەر دەۋردە 0.25%، 100 ئايلىنىشلىق ئويۇنلارنىڭ تەخمىنەن 11% ى. بۇزۇلغاندىكى زىيان: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. ئويۇنچى سىيرەكرەك ئاپەتنى چوڭراق ئاپەت بەدىلىگە سېتىۋالغان. نۇرغۇن ئويۇنلاردا بۇزۇلۇشلارنىڭ كۈتۈلگەن بەدىلى p × زىيان ≈ $500 لىق چەكلىمىدە ھەر دەۋرگە 0.0183 × 630 = $11.5، $5,000 دا بولسا 0.0025 × 5,110 = $12.8؛ يۇمىلاقلاش خاتالىقى ئىچىدە بۇ ئوخشاش سان، ئۇ دەۋرنىڭ كۈتۈلگەن زىيانماتېماتىكاكۈتۈلگەن زىيانكۈتۈلگەن قىممەتنى ئومۇمىي تىكىلگەن پۇلغا كۆپەيتىش؛ بىر ئويۇن ياكى بىر مەزگىلدە ئوتتۇرىچە ئۇتتۇرۇلىدىغان پۇل.تولۇق ئوقۇش ← ى بىلەن ئۇتقان دەۋرلەر تاپقان $10 نىڭ يىغىندىسى.
(e) نىڭ يېشىمى
ياق. ھەر دەۋرنىڭ كۈتۈلگەن زىيىنى = (دەۋردىكى كۈتۈلگەن ئومۇمىي تىكىم) / 37، ھەرقانداق چەكلىمىدە، چۈنكى ھەر بىر تىكىم ئۆزىنىڭ −1/37 ى. چەكلىمە پەقەت زىياننىڭ نۇرغۇن كىچىك ئۇتۇشلار بىلەن ئاز ساندىكى چوڭ ئۇتتۇرۇشلار ئارىسىدا قانداق تەقسىملىنىدىغانلىقىنىلا بەلگىلەيدۇ. چەكلىمە بولمىسا ۋە ئويۇن مەبلىغىپۇلئويۇن مەبلىغىئويناش ئۈچۈن ئايرىلغان ئومۇمىي پۇل. ئويۇن مەبلىغىنى باشقۇرۇش — ئۇنىڭ قانچىلىكىنى ھەر بىر تىكىمدە ۋە ھەر بىر ئويۇندا خەتەرگە قويۇشنى بەلگىلەش.تولۇق ئوقۇش ← چەكسىز بولسا، تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپى «ئىشلەيتتى»، يەنى ھەرگىز بۇزۇلمايتتى، شۇنىڭ بىلەن بىرگە چەكسىز سوممىنى تىكەتتى، كۈتۈلگەن زىيىنى شۇ چەكسىز سوممىنىڭ 2.70% ى بولاتتى. مارتىنگالئىستراتېگىيەمارتىنگالھەر بىر ئۇتتۇرۇشتىن كېيىن تىكىمنى ئىككى ھەسسە ئاشۇرىدىغان تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپى. ئۇنىڭ نېمە قىلىدىغانلىقى ۋە نېمە قىلمايدىغانلىقىنى ئىستراتېگىيە بۆلۈمىدىن كۆرۈڭ.تولۇق ئوقۇش ← نىڭ ئىشلىشىگە توسقۇنلۇق قىلىدىغىنى ئۈستەل چەكلىمىسىئۈستەلئۈستەل چەكلىمىسىرۇخسەت قىلىنغان ئەڭ تۆۋەن ۋە ئەڭ يۇقىرى تىكىم. ئىككى ھەسسىلەش تەرتىپلىرىنى ئەڭ يۇقىرى چەك توختىتىدۇ.تولۇق ئوقۇش ← ئەمەس. ھېساب.
ئىككى ھەقىقىي ئۈستەل
تورپنىڭ مىسالى ئەڭ يۇقىرى چېكى $1,000 بولغان $1 لىق ئۈستەل، بۇ يەردە ئويۇنچى بىر دوللاردىن كەچلىك تاماق ئۈچۈن $30 ئۇتۇشنى ئۈمىد قىلىدۇ. 1، 2، 4 … 512 تىكىملىرى ئون تىكىمگە يول قويىدۇ، شۇڭا ئارقا-ئارقىدىن ئون ئۇتتۇرۇش تەرتىپنى بۇزىدۇ: ياۋروپا چاقىدا 785 دەۋردە بىر قېتىم (ئامېرىكا چاقىدا 613 دە بىر قېتىم)، بەدىلى $1,023. ئوتتۇز دەۋرنىڭ ھەممىسى 96.2% ۋاقىتتا مۇۋەپپەقىيەتلىك بولىدۇ. قالغان 3.8% تەخمىنەن $1,000 يوقىتىدۇ، كەچنىڭ ئوتتۇرىچە نەتىجىسى −$9.17، بۇ دەل ئوتتۇز دەۋر ئوتتۇرىچە تىكىدىغان $339 نىڭ 1/37 ى. ئەڭ يۇقىرى چېكى $2,000 بولغان $5 لىق ئۈستەلمۇ ئوخشاش: $1,280 غىچە تىكىملەر توققۇز تىكىمگە يول قويىدۇ، بۇزۇلۇش ياۋروپا چاقىدا 403 دەۋردە بىر قېتىم (ئامېرىكا چاقىدا 323 دە بىر قېتىم) يۈز بېرىدۇ ۋە $2,555 غا چۈشىدۇ.
باي ئويۇنچى
تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپىگە تۆۋەن چەكلىمىنىڭ ئورنىغا چوڭقۇر ئويۇن مەبلىغى بېرەيلى: 1,000 بىرلىك، بىر بىرلىكلىك ئاساس ۋە قىزىلغا 1,000 ئايلىنىش، كېيىنكى ئىككى ھەسسىلىك تىكىم قالغان پۇلدىن كۆپ بولسا، يەنە بىر بىرلىكتىن باشلاش. بىز بۇنداق بىر مىليون كەچنى سىمۇلياتسىيە قىلدۇق. ياۋروپا چاقىدا 52% پايدا بىلەن ئاخىرلىشىدۇ، 21% ھەممىنى يوقىتىدۇ، ئوتتۇرىچە نەتىجە −124 بىرلىك. ھەر بىر تىكىم ئادىل بولغان، نۆلچاقنۆلھېچقانداق تەڭ تۆلەملىك، ئون ئىككىلىك ياكى ئىستون تىكىمى قاپلىمايدىغان بىردىنبىر يېشىل ئۇۋا؛ كازىنو ئەۋزەللىكىنىڭ مەنبەسى. يەنە: يەككە نۆل، 0.تولۇق ئوقۇش ← يوق ئويۇندىمۇ پەقەت تەخمىنەن 60% ى پايدا بىلەن ئاخىرلىشاتتى. ئادەتتىكى كەچ كىچىك ئۇتۇش؛ ئوتتۇرىچىنىڭ بەدىلىنى نۆل بىلەن ئاخىرلاشقان كەچلەر تۆلەيدۇ.
ساۋاق
كازىنولار چەكلىمىنى سىستېمىلارنى مەغلۇپ قىلىش ئۈچۈن ئەمەس، ئۆزىنىڭ دىسپېرسىيەماتېماتىكادىسپېرسىيەنەتىجىلەرنىڭ كۈتۈلگەن قىممەت ئەتراپىدا قانچىلىك كەڭ تارقالغانلىقىنىڭ ئۆلچىمى. يەككە سان تىكىمىدە يۇقىرى، تەڭ تۆلەملىك تىكىملەردە تۆۋەن.تولۇق ئوقۇش ← سىنى چەكلەش ئۈچۈن بېكىتىدۇ. مارتىنگالنى مەغلۇپ قىلىش ئۇلار خۇشال قوبۇل قىلىدىغان قوشۇمچە نەتىجە، ھېساب ئۇنى ھەر ھالدا مەغلۇپ قىلاتتى. چەكلىمىنى مەسىلە دەپ ئويلايدىغان ئويۇنچى قىيانى تاپقان، لېكىن ئۇنى يانباغىر دەپ خاتا چۈشەنگەن.
فورمۇلا
سوئاللار
ئۇ سىزنى يۇقىرىراق چەكلىمىگىچە ساقلاپ قالىدۇ، ئۇ يەردە بۇزۇلۇش سىيرەكرەك ۋە چوڭراق. ھەر دوللارغا كۈتۈلگەن زىيان ئۆزگەرمەيدۇ.
تىكىملەر 10، 30، 70، 150، 310: $500 لىق چەكلىمىگە بەش ئۇتتۇرۇشتىن كېيىن يېتىدۇ، بۇزۇلۇش $570 غا چۈشىدۇ. يەنىلا 2.70%.
بىر ئويۇنچى كازىنونىڭ زاپىسى ئەركىن تۆلىيەلەيدىغان سوممىدىن كۆپ تىكەلمىسۇن دەپ. دىسپېرسىيەنى باشقۇرۇش.
ماتېماتىكا بىلەن كۆڭۈل ئېچىش
ئالدى بىلەن بۇلارنى ئۆزىڭىز سىناپ بېقىڭ. ھەر بىر يېشىم يېپىقلىق؛ تەييار بولغاندا ئېچىڭ.
مارتىنگالئىستراتېگىيەمارتىنگالھەر بىر ئۇتتۇرۇشتىن كېيىن تىكىمنى ئىككى ھەسسە ئاشۇرىدىغان تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپى. ئۇنىڭ نېمە قىلىدىغانلىقى ۋە نېمە قىلمايدىغانلىقىنى ئىستراتېگىيە بۆلۈمىدىن كۆرۈڭ.تولۇق ئوقۇش ← قىزىلتىكىمقىزىل18 قىزىل سانغا تەڭ تۆلەملىك تىكىم. فرانسۇزچە: rouge.تولۇق ئوقۇش ← غا $100 دىن باشلىنىدۇ ۋە ھەر دەۋردە ئەڭ كۆپ n تىكىمگە يول قويىدۇ: ئارقا-ئارقىدىن n ئۇتتۇرۇشتىن كېيىن ۋاز كېچىپ قايتا باشلايدۇ. بىر دەۋرنىڭ ئوتتۇرىچە نەتىجىسىنى n غا باغلىق فورمۇلا قىلىپ يېزىڭ ۋە ياۋروپا چاقىدا 5، 6 ۋە 7 تىكىم ئۈچۈن ھېسابلاڭ.
يېشىمنى كۆرسىتىش
جاۋاب ئوتتۇرىچە 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 تىكىمدە −$14.26، 6 دا −$17.35 ۋە 7 دە −$20.52. كۆپرەك تىكىمگە يول قويۇش ئوتتۇرىچە دەۋرنى ياخشىلىمايدۇ، ناچارلاشتۇرىدۇ.
دەۋر $100 ئۇتىدۇ، پەقەت n تىكىمنىڭ ھەممىسى ئۇتتۇرسا ئۇتالمايدۇ، بۇ qⁿ ئېھتىماللىق بىلەن يۈز بېرىدۇ، بۇ يەردە q = 19/37. ھەممىسى ئۇتتۇرغاندا، 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ تىكىملىرىنىڭ يىغىندىسى 100 × (2ⁿ − 1). شۇڭا ئوتتۇرىچە 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
بۇ يەردە 2q = 38/37، 1 دىن سەل چوڭ، شۇڭا (2q)ⁿ n بىلەن ئۆسىدۇ ۋە ئوتتۇرىچە تۆۋەنلەيدۇ: n = 5 دە 1.1426 ۋە −$14.26؛ n = 6 دا 1.1735 ۋە −$17.35؛ n = 7 دە 1.2052 ۋە −$20.52. ئۇزۇنراق پەلەمپەي ئازراق ئۇتتۇرىدۇ، دەۋرلەرنىڭ 3.6%، 1.8% ۋە 0.9% ىدا، لېكىن ھەر بىر زىيان ئىككى ھەسسە چوڭ، ھەر دەۋردە ئۈستەلدىن كۆپرەك پۇل ئۆتىدۇ، ھەر بىر تىكىمنىڭ 2.70% ى بويىچە.
ئامېرىكا چاقىدا 2q = 40/38، سانلار −$29.24، −$36.04 ۋە −$43.20 (Taylor, 2021). نۆلچاقنۆلھېچقانداق تەڭ تۆلەملىك، ئون ئىككىلىك ياكى ئىستون تىكىمى قاپلىمايدىغان بىردىنبىر يېشىل ئۇۋا؛ كازىنو ئەۋزەللىكىنىڭ مەنبەسى. يەنە: يەككە نۆل، 0.تولۇق ئوقۇش ← يوق ئويۇندا 2q = 1، پەلەمپەي قانچە ئۇزۇن بولسىمۇ، ھەر بىر دەۋرنىڭ ئوتتۇرىچىسى دەل نۆل.
«چوڭ مارتىنگال» ئۇتتۇرۇشتىن كېيىن تىكىمنى ئىككى ھەسسە قىلىپ بىر بىرلىكپۇلبىرلىكسىستېما ياكى ئويۇنچى ئىشلىتىدىغان ئاساسىي تىكىم. تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپلىرى ھەر قانداق ئۈستەلدە ئىشلىتىلسۇن دەپ بىرلىك بىلەن تەسۋىرلىنىدۇ.تولۇق ئوقۇش ← قوشىدۇ، شۇڭا تىكىملەر 1، 3، 7، 15، 31 … بولىدۇ. تۇنجى ئۇتۇش 1-، 2-، 3- ياكى k-تىكىمدە كەلسە، قانچە پايدىدا بولىسىز؟ $10 لىق بىرلىك ۋە $500 لىق ئەڭ يۇقىرى چەكتە دەۋر قانچىلىك دائىم بۇزۇلىدۇ، بىر دەۋر ئوتتۇرىچە قانچىگە توختايدۇ؟
يېشىمنى كۆرسىتىش
جاۋاب k-تىكىمدىكى ئۇتۇش سىزنى k بىرلىك پايدىدا قالدۇرىدۇ: +1، +2، +3 ۋە ھاكازا. $10 ۋە $500 دە دەۋر بەش ئۇتتۇرۇشتىن كېيىن بۇزۇلىدۇ، دەۋرلەرنىڭ 3.57% ى، −$570 بىلەن. ئوتتۇرىچە بىر دەۋر تىكىلگەن $85.73 دىن $2.32 يوقىتىدۇ: 2.70%.
k-تىكىم 2ᵏ − 1 بىرلىك: 1، 3، 7، 15، 31. دەسلەپكى k − 1 تىكىمنىڭ يىغىندىسى 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. k-تىكىمدىكى ئۇتۇش 2ᵏ − 1 تۆلەيدۇ، شۇڭا دەۋر (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k بىرلىك پايدا بىلەن ئاخىرلىشىدۇ: ئۇتۇشتىن بۇرۇنقى ھەر بىر ئۇتتۇرۇش ئۈچۈن بىر قوشۇمچە بىرلىك.
بىرلىك $10 بولغاندا تىكىملەر $10، $30، $70، $150 ۋە $310؛ كېيىنكىسى $630، $500 لىق ئەڭ يۇقىرى چەكتىن ئاشىدۇ. ئارقا-ئارقىدىن بەش ئۇتتۇرۇش، (19/37)⁵ = 3.57%، 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 گە توختايدۇ.
ئوتتۇرىچە: ئۇتۇشلار k = 1 دىن 5 كىچە (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 ئېھتىماللىق بىلەن $10 × k ئېلىپ كېلىدۇ، بۇزۇلۇش 3.57% ئېھتىماللىق بىلەن $570 ئالىدۇ؛ بىرلىكتە −$2.32. تىكىلگەن پۇل ئوتتۇرىچە دەۋر بېشىغا $85.73، ۋە 2.32/85.73 = 2.70%. ئوخشاش ئۈستەلدىكى ئادەتتىكى مارتىنگال ئالتە ئۇتتۇرۇشتىن كېيىن بۇزۇلىدۇ، دەۋرلەرنىڭ 1.83% ى، −$630 بىلەن، ۋە تىكىلگەن $64.20 دىن $1.74 يوقىتىدۇ: يەنە 2.70%.
بىر ئويۇنچى چەكلىمىسى $1,000 بولغان ئۈستەلدە قىزىلدا $1 لىق تۇنجى تىكىم بىلەن مارتىنگال ئويناشنى پىلانلايدۇ، شۇڭا ئون تىكىم مۇمكىن: $1، $2، $4 ۋە ھاكازا $512 گىچە. دەۋر ئوننىڭ ھەممىسىنى قانچىلىك دائىم ئۇتتۇرىدۇ، بۇنىڭغا ئوتتۇرىچە قانچە ۋاقىت كېتىدۇ، 200 تىكىملىك كەچ قانچىلىك دائىم شۇنداق ئاخىرلىشىدۇ؟
يېشىمنى كۆرسىتىش
جاۋاب دەۋر ئوننىڭ ھەممىسىنى تەخمىنەن 784 تە بىر قېتىم ئۇتتۇرىدۇ، بۇ $1,023 گە توختايدۇ. بۇ ئوتتۇرىچە تەخمىنەن 1,600 تىكىم، 200 تىكىملىك كەچ تەخمىنەن 11% ۋاقىتتا تامغا ئۇرۇلىدۇ. دەۋر يەنىلا تىكىلگەن $11.31 دىن ئوتتۇرىچە $0.31 يوقىتىدۇ: 2.70%.
قىزىلغا قويۇلغان تىكىم نۆلنى قوشقاندا 19/37 ئېھتىماللىق بىلەن ئۇتتۇرىدۇ. ئارقا-ئارقىدىن ئون: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، تەخمىنەن 784 تە 1. 1 + 2 + 4 + … + 512 تىكىملىرىنىڭ يىغىندىسى $1,023.
بىر دەۋرگە ئوتتۇرىچە 2.05 تىكىم كېتىدۇ، شۇڭا 784 دەۋرگە تەخمىنەن 1,600 تىكىم كېتىدۇ. ئايلىنىشمۇ ئايلىنىش ھېسابلىغاندا، ئونلۇق ئۇتتۇرۇش قاتارى 200 تىكىمنىڭ بىرەر يېرىدە 11.3% ۋاقىتتا ئۇچرايدۇ.
ئاپەتلەر ئارىسىدا ئويۇنچى ھەر دەۋردە $1 ئۇتىدۇ: يامىنىدىن بۇرۇن تەخمىنەن $783، ئاندىن −$1,023، پۈتۈن ئارىلىقتا تەخمىنەن −$240. دەۋر بېشىغا: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. دەۋر بېشىغا تىكىلگەن پۇل: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. ۋە −0.31/11.31 = −2.70%.
$500 لىق چەكتە $10 لىق تۇنجى تىكىم، ئالتە تىكىم بىلەن سېلىشتۇرۇڭ: تام 55 دەۋردە بىر قېتىم كېلىدۇ، 200 تىكىملىك كەچ 84% ۋاقىتتا ئۇنىڭغا ئۇرۇلىدۇ. يۇقىرىراق چەكلىمە ئۆرۈلۈشنى ئازراق ۋە چوڭراق قىلىدۇ، ئەرزان قىلمايدۇ.
يۇمۇرلۇق ئارام
ھەر بىر چەكلىمىدە سىيرەكرەك ۋە چوڭراق. كۆپەيتمىسى تۇراقلىق.
مەنبەلەر
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.