دالامبېر رۇلېتكا ئىستراتېگىيەسى
دالامبېر رۇلېتكا ئىستراتېگىيەسى ئۇتتۇرغاندىن كېيىن بىر بىرلىك قوشىدۇ، ئۇتقاندىن كېيىن بىر بىرلىك ئالىدۇ.
ئۇ چاقنى يېڭەلمەيدۇ. ئۇ ئەڭ تەكشى ئومۇملاشقان تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپىئىستراتېگىيەتىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپىئالدىنقى نەتىجىلەرگە ئاساسەن تىكىمنى ئۆزگەرتىدىغان ھەر قانداق قائىدە. سەلبىي تەرتىپلەر ئۇنى ئۇتتۇرۇشتىن كېيىن، ئىجابىيلىرى ئۇتۇشتىن كېيىن ئاشۇرىدۇ.تولۇق ئوقۇش ←: تىكىملەر ئاستا يۇقىرىلايدۇ، چۈشۈشلەر ئوتتۇراھال، ئەۋزەللىك بولسا ئۆزگەرمەيدۇ.
سىستېما بويىچە مېڭىش
ئۇتتۇرۇش بىر قەدەم يۇقىرىغا يۆتكەيدۇ. ئۇتۇش بىر قەدەم كەينىگە قايتۇرىدۇ.
تىكىملەر ۋە نەتىجىلەر ئاساسىي تىكىمنىڭ بىرلىكىدە.
دالامبېر رۇلېتكا سىستېمىسى، قەدەممۇ قەدەم
بىر بىرلىكپۇلبىرلىكسىستېما ياكى ئويۇنچى ئىشلىتىدىغان ئاساسىي تىكىم. تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپلىرى ھەر قانداق ئۈستەلدە ئىشلىتىلسۇن دەپ بىرلىك بىلەن تەسۋىرلىنىدۇ.تولۇق ئوقۇش ← تىكىڭ. ئۇتتۇرسىڭىز، كېيىنكى تىكىم بىر بىرلىك چوڭ. ئۇتسىڭىز، بىر بىرلىك كىچىك، ئەمما ھەرگىز بىردىن تۆۋەن ئەمەس. شۇنىڭ بىلەن تامام. ئەلەڭگۈچنى كۆز ئالدىڭىزغا كەلتۈرۈڭ: ھەر بىر زىيان تىكىمنى بىر پەللە يۇقىرى كۆتۈرىدۇ، ھەر بىر ئۇتۇش ئۇنى قايتۇرىدۇ. ئاستىدىكى ئېتىقاد شۇكى، ئۇتۇش بىلەن زىيان تەڭپۇڭلىشىدۇ، شۇڭا تىكىم ئاساسقا قايتىپ كېلىدۇ. جەلپ قىلىش كۈچى شۇكى، قوشنا تىكىملەردىكى بىر ئۇتۇش بىلەن بىر زىياندىن ئىبارەت ھەر بىر جۈپ +1 بىرلىك بېرىدۇ: 3 ئۇتتۇرۇپ، 4 ئۇتسىڭىز، ساپ +1.
بىر ئويۇن قانداق كۆرۈنىدۇ؟
يۇمشاق، تىكىم ئاستا يۇقىرىلايدۇ. تەڭ تۆلەملىك تىكىمدە زىيان ئۇتۇشتىن 19 كە 18 نىسبەتتە كۆپ بولغاچقا، ئۇزۇن ئويۇندا تىكىم ئاستا يۇقىرىلايدۇ. تىكىم سىز ئۇتتۇرۇۋاتقاندا ئەڭ يۇقىرى، ئۇتۇۋاتقاندا تۆۋەنرەك بولغاچقا، ئۇتتۇرۇش مەزگىللىرىدىكى ئوتتۇرىچە تىكىم ئۇتۇش مەزگىللىرىدىكىدىن ئېشىپ كېتىدۇ. ئويۇنلار مارتىنگالئىستراتېگىيەمارتىنگالھەر بىر ئۇتتۇرۇشتىن كېيىن تىكىمنى ئىككى ھەسسە ئاشۇرىدىغان تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپى. ئۇنىڭ نېمە قىلىدىغانلىقى ۋە نېمە قىلمايدىغانلىقىنى ئىستراتېگىيە بۆلۈمىدىن كۆرۈڭ.تولۇق ئوقۇش ← دىن تەكشىرەك، ئوتتۇراھال چۈشۈشلەرپۇلچۈشۈشبىر ئويۇن ئىچىدە ئويۇن مەبلىغىنىڭ ئەڭ يۇقىرى نۇقتىسىدىن كېيىنكى ئەڭ تۆۋەن نۇقتىسىغىچە چۈشۈشى. ئەڭ چوڭ چۈشۈش — شۇنداق چۈشۈشلەرنىڭ ئەڭ چوڭى.تولۇق ئوقۇش ← بىلەن، قىيا يوق، ۋە ئوتتۇرىچە ئالغاندا ئوخشاش تىكىمئىستراتېگىيەئوخشاش تىكىمھەر ئايلىنىشتا ئوخشاش سوممىنى تىكىش. ھەر بىر تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپى سېلىشتۇرۇلىدىغان ئاساس.تولۇق ئوقۇش ← دىن سەل كۆپرەك يوقىتىدۇ، چۈنكى ئوتتۇرىچە تىكىم يۇقىرىراق.
- p10 −$500
- p25 −$500
- مېدىيان −$500
- p75 −$500
- p90 −$500
دالامبېر سىستېمىسى ئىشلەمدۇ؟
ياق. تەڭپۇڭ ئويۇن ئۇتىدۇ، ئەمما ئويۇنلار تەڭپۇڭ ھالەتتە تۇرمايدۇ. قوشنا تىكىملەردە w ئۇتۇش ۋە l زىياندىن كېيىن ساپ نەتىجە w − l بىرلىك ۋە پەلەمپەينىڭ قەيېرىدە تۇرغانلىقىڭىزغا قاراپ بىر تۈزىتىش. ئەگەر w = l بولسا، نەتىجە دەل +w بىرلىك، بۇ كاپالەتلىك پايدىدەك كۆرۈنىدۇ. ئەمما w = l كۈتۈلگەن ئەھۋال ئەمەس: 37 ئايلىنىشتا 18 ئۇتۇش ۋە 19 زىيان كۈتۈلىدۇ. مەسىلەن، 8 بىرلىككە چىققان تىكىمدىكى بىر ئارتۇق زىياننىڭ بەدىلى سەككىز +1 جۈپ بەرگەندىن كۆپ. كۈتۈلگەن قىممەت، شۇنداق بولۇشى كېرەك بولغاندەك، ئومۇمىي ئومۇمىي تىكىمپۇلئومۇمىي تىكىمبىر ئويۇن ياكى مەزگىلدە تىكىلگەن ئومۇمىي پۇل، قايتا تىكىلگەن ئۇتۇشلارنى قوشۇپ. يەنە: ئوبوروت، ھەرىكەت.تولۇق ئوقۇش ← نىڭ −1/37 ى بولۇپ چىقىدۇ.
قىسقا ئويۇنلار نېمە ئۈچۈن ئادەتتە ئۇتىدۇ؟
تەڭپۇڭ ئەھۋال ھەر بىر ئويۇننى ئۆز ئىچىگە ئالىدىغان بىر قائىدىنىڭ بىر قىسمى. زىيانلار سانىدىن ئۇتۇشلار سانىنى ئېلىپ، ئۇنى D دەپ ئاتايلى. بىر بىرلىكتىن باشلانغان N ئايلىنىشلىق ئويۇن، بىر بىرلىكلىك بىرەر تىكىم ئۇتمىغانلا بولسا (ئۇنداق ئۇتۇشتىن كېيىن تىكىمنىڭ تېخىمۇ تۆۋەنلەيدىغان يېرى قالمايدۇ)، (N − D²)/2 − D بىرلىك بىلەن ئاخىرلىشىدۇ. D = 0 بولغاندا بۇ +N/2، يەنى يۇقىرىدىكى بۆلەكتىكى +w. ھەر بىر ئارتۇق زىيان كۋادرات بىلەن ھېسابلىنىدۇ: 100 ئايلىنىشتىن كېيىن D = 4 بولسا يەنىلا +38 بىرلىك قالىدۇ، D = 8 بولسا +10، D = 10 بولسا −10. تاسادىپىيلىقنىڭ ئۆزىلا D نى تەخمىنەن √N گە، يەنى 100 ئايلىنىشتىن كېيىن ئونغا تارقىتىدۇ، ۋە نۆلچاقنۆلھېچقانداق تەڭ تۆلەملىك، ئون ئىككىلىك ياكى ئىستون تىكىمى قاپلىمايدىغان بىردىنبىر يېشىل ئۇۋا؛ كازىنو ئەۋزەللىكىنىڭ مەنبەسى. يەنە: يەككە نۆل، 0.تولۇق ئوقۇش ← يوق ئويۇندا نۇرغۇن تەڭپۇڭ ئويۇنلارنىڭ پايدىسى بىلەن ئاز ساندىكى بىر تەرەپلىمە ئويۇنلارنىڭ زىيانى دەل يوققا چىقىدۇ. نۆل ئوتتۇرىچە ھەر 37 ئايلىنىشتا بىر ئارتۇق زىيان قوشىدۇ، ۋە D كۋادرات بولغاچقا، ئۇنىڭ بەدىلى ئويۇندىن تېز ئۆسىدۇ. 100 ئايلىنىشقىچە بولغان كۆپ ئويۇنلار پايدا بىلەن ئاخىرلىشىدۇ؛ ئوتتۇرىچە ھېچقاچان ئۇنداق بولمايدۇ، ۋە بىر قانچە يۈز ئايلىنىشتىن ئاشقاندا كۆپ ئويۇنلارمۇ ئۇتتۇرىدۇ.
ئۇنى تەتۈرىگە ئۆرىسىڭىز قانداق بولىدۇ؟
قارشى دالامبېر، يەنە تەتۈر دالامبېر دەپمۇ ئاتىلىدۇ، ئۇتقاندىن كېيىن بىر بىرلىك قوشىدۇ، ئۇتتۇرغاندىن كېيىن بىرنى ئالىدۇ. ئۇ ئەسلىدىكىسىنىڭ دەل ئەينەكتىكى ئەكسى. بىر بىرلىكلىك بىرەر تىكىم ئۇتتۇرمىغانلا بولسا، N ئايلىنىشلىق ئويۇن (D² − N)/2 + D بىرلىك بىلەن ئاخىرلىشىدۇ، بۇ يەردە D ئەمدى ئۇتۇشلاردىن زىيانلارنى ئالغىنى. تەڭپۇڭ ئويۇن ھەر ئايلىنىشتا يېرىم بىرلىك يوقىتىدۇ، پەقەت زىيانلاردىن خېلى ئېشىپ كەتكەن ئۇتۇش قاتارىلا پايدا ئېلىپ كېلىدۇ. شۇڭا كۆپ ئويۇنلار ئازراق ئۇتتۇرىدۇ، ئاز ساندىكىسى كۆپ ئۇتىدۇ، بۇ ئەسلىدىكىسىنىڭ شەكلىنىڭ ئەكسى، ئوتتۇرىچە بولسا ئوخشاشلا تىكىلگەن پۇلنىڭ 2.70% ى.
دالامبېر كىم ئىدى؟
ماتېماتىك ۋە Encyclopédie نىڭ تەڭ مۇھەررىرى جان لې روند دالامبېر 1754-يىلدىكى بىر ماقالىسىدە، تەڭگىنىڭ «باش» تەرىپى ئارقا-ئارقىدىن چىققاندىن كېيىن «قۇيرۇق» تەرىپىنىڭ چىقىش ئېھتىماللىقى ئاشىدۇ، دەپ ئوتتۇرىغا قويغان. ئۇ خاتالاشقان، ۋە ئۇنىڭ نامى بىلەن ئاتالغان خاتالىق قىمارۋازنىڭ خاتالىقىنىڭ بىر شەكلى. رۇلېتكىدىكى دالامبېر سىستېمىسى كېيىن ئۇنىڭ نامى بىلەن، شۇ ئېتىقادقا ئورتاق قىمارۋازلار تەرىپىدىن ئاتالغان. ئۇ بۇنى لايىھەلىمىگەن، ۋە بەلكىم ئۇنى قوللىمىغان بولاتتى.
باشقا نۇسخىلىرى بارمۇ؟
يۇقىرىدىكى قارشى دالامبېر يۇمشاق پارولىئىستراتېگىيەپارولىئىجابىي تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپى: ئۇتقاندىن كېيىن ئىككى ھەسسە، ئۇتتۇرغاندىن كېيىن ياكى ئارقا-ئارقىدىن ئۈچ قېتىم ئۇتقاندىن كېيىن باشتىن باشلاش. يەنە: تەتۈر مارتىنگال.تولۇق ئوقۇش ← غا ئوخشاش ھەرىكەت قىلىدۇ. بەزى ئويۇنچىلار ئۇتتۇرغاندىن كېيىن ئىككى بىرلىك قوشۇپ، ئۇتقاندىن كېيىن بىرنى ئالىدۇ، بۇ پەلەمپەينى مارتىنگال تەرەپكە تىكلەشتۈرىدۇ. ھەممە نۇسخىلارنىڭ تىكىلگەن ھەر بىرلىككە توغرا كېلىدىغان كۈتۈلگەن زىيانماتېماتىكاكۈتۈلگەن زىيانكۈتۈلگەن قىممەتنى ئومۇمىي تىكىلگەن پۇلغا كۆپەيتىش؛ بىر ئويۇن ياكى بىر مەزگىلدە ئوتتۇرىچە ئۇتتۇرۇلىدىغان پۇل.تولۇق ئوقۇش ← ى ئوخشاش.
سىمۇلياتور · دالامبېر
$1,000 لىق ئويۇن مەبلىغىدىن باشلانغان، تەڭ تۆلەملىك تىكىملىك 2,000 ئويۇن.
ئاساسىي تىكىم $10 · ئۈستەل چەكلىمىسى $500 · ھەر ئويۇندا 100 ئايلىنىش
ئۇتتۇرۇش تىزمىسى قانچىلىك دائىم كېلىدۇ
يەككە نۆللۈك چاقتا تەڭ تۆلەملىك تىكىم 37 ئايلىنىشنىڭ 19 ىدا ئۇتتۇرىدۇ. ھەر بىر قۇر بېرىلگەن ئايلىنىشلار تىزمىسىنىڭ ھەممىسىدە ئۇتتۇرۇش ئېھتىماللىقىنى، ۋە ھەر بىر ئۇتتۇرۇشتىن كېيىن بىر ئاساسىي تىكىم قوشىدىغان دالامبېر ئويۇنچىسىنىڭ شۇ ۋاقىتقىچە قانچىلىك ئۇتتۇرغانلىقىنى كۆرسىتىدۇ.
| ئارقا-ئارقىدىن ئۇتتۇرۇش | ئېھتىماللىق | تەخمىنەن قانچىدە 1 | ھازىرغىچە ئۇتتۇرغىنى | كېيىنكى تىكىم |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $3 |
| 3 | 13.5% | 7 | $6 | $4 |
| 4 | 7.0% | 14 | $10 | $5 |
| 5 | 3.6% | 28 | $15 | $6 |
| 6 | 1.8% | 55 | $21 | $7 |
| 7 | 0.94% | 106 | $28 | $8 |
| 8 | 0.48% | 207 | $36 | $9 |
| 9 | 0.25% | 403 | $45 | $10 |
| 10 | 0.13% | 784 | $55 | $11 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $66 | $12 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $78 | $13 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $91 | $14 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $105 | $15 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $120 | $16 |
ئېھتىماللىق 19/37 نىڭ ھەر بىر ئۇتتۇرۇش ئۈچۈن بىر قېتىم ئۆزىگە كۆپەيتىلگىنى، بېرىلگەن بىر ئايلىنىشتىن باشلاپ ھېسابلىنىدۇ. ئۇزۇن بىر ئويۇندا بۇنداق تىزما باشلىنالايدىغان ئايلىنىشلار كۆپ، شۇڭا بىر ئاخشام ئىچىدە ئۇنىڭ يۈز بېرىش ئېھتىماللىقى بىر قۇر كۆرسەتكەندىن خېلى يۇقىرى.
سوئاللار
ئۇنىڭدا قىيا يوق، بۇ ئۇنى ئەڭ يۇمشاق مەنپىي تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپى قىلىدۇ. ئۇ ئوخشاش تىكىمدىن ئەرزان ئەمەس؛ سەل قىممەت.
پەقەت ئۈستەل چەكلىمىسىئۈستەلئۈستەل چەكلىمىسىرۇخسەت قىلىنغان ئەڭ تۆۋەن ۋە ئەڭ يۇقىرى تىكىم. ئىككى ھەسسىلەش تەرتىپلىرىنى ئەڭ يۇقىرى چەك توختىتىدۇ.تولۇق ئوقۇش ← ياكى ئويۇن مەبلىغىپۇلئويۇن مەبلىغىئويناش ئۈچۈن ئايرىلغان ئومۇمىي پۇل. ئويۇن مەبلىغىنى باشقۇرۇش — ئۇنىڭ قانچىلىكىنى ھەر بىر تىكىمدە ۋە ھەر بىر ئويۇندا خەتەرگە قويۇشنى بەلگىلەش.تولۇق ئوقۇش ← ڭىز. ئۇزۇن ئۇتتۇرۇش ئويۇنىدا ئۇ توختىماي ئۆرلەيدۇ.
ماتېماتىكا بىلەن كۆڭۈل ئېچىش
ئالدى بىلەن بۇلارنى ئۆزىڭىز سىناپ بېقىڭ. ھەر بىر يېشىم يېپىقلىق؛ تەييار بولغاندا ئېچىڭ.
سىز قىزىلتىكىمقىزىل18 قىزىل سانغا تەڭ تۆلەملىك تىكىم. فرانسۇزچە: rouge.تولۇق ئوقۇش ← دا دالامبېرنى 50 ئايلىنىش ئوينايسىز، بىر بىرلىكپۇلبىرلىكسىستېما ياكى ئويۇنچى ئىشلىتىدىغان ئاساسىي تىكىم. تىكىم ئۆستۈرۈش تەرتىپلىرى ھەر قانداق ئۈستەلدە ئىشلىتىلسۇن دەپ بىرلىك بىلەن تەسۋىرلىنىدۇ.تولۇق ئوقۇش ← تىن باشلايسىز ۋە بىر بىرلىكلىك تىكىمنى ھەرگىز ئۇتمايسىز (بۇنداق ئۇتۇشتىن كېيىن تىكىم تۆۋەنلەيدىغان يەر يوق). سىز 27 ئۇتتۇرۇش ۋە 23 ئۇتۇش بىلەن ئاخىرلاشتۇرىسىز. قانچە بىرلىك پايدا ياكى زىياندا بولىسىز؟ 29 ئۇتتۇرۇش ۋە 21 ئۇتۇش بىلەنچۇ؟
يېشىمنى كۆرسىتىش
جاۋاب 27 ئۇتتۇرۇشتا +13 بىرلىك، 29 دا −15 بىرلىك. ئەللىك ئايلىنىشتىن ئىككىسىنىڭ قارشى تەرەپكە كېتىشى 28 بىرلىككە توختايدۇ.
ئۇتتۇرۇشلاردىن ئۇتۇشلارنى ئالغاننى D دەيلى. N ئايلىنىش ئۈچۈن نەتىجە (N − D²)/2 − D. 27 ئۇتتۇرۇش ۋە 23 ئۇتۇشتا D = 4: (50 − 16)/2 − 4 = 17 − 4 = +13. 29 ۋە 21 دە D = 8: (50 − 64)/2 − 8 = −7 − 8 = −15.
قائىدە نېمە ئۈچۈن ئىشلەيدۇ: تىكىم ھەمىشە بىر بىرلىك قوشۇلغان شۇ ۋاقىتقىچە بولغان ئۇتتۇرۇشلار ئېلىنغان شۇ ۋاقىتقىچە بولغان ئۇتۇشلار. كېيىنكى ئۇتۇش يوققا چىقارغان ھەر بىر ئۇتتۇرۇش جۈپ ھاسىل قىلىدۇ، s نى ئۇتتۇرۇپ ئاندىن s + 1 نى ئۇتۇش، ساپ +1 بىرلىك، يۇقىرىدىكى جەدۋەل كۆرسەتكەندەك. N ئايلىنىشتا (N − D)/2 شۇنداق جۈپ ھاسىل بولىدۇ، قىممىتى +(N − D)/2. ئاشقان D ئۇتتۇرۇش ئۆرلەش يولىدا 1، 2 … D تىكىملىرىدە قويۇلغان ۋە ھەرگىز يوققا چىقمىغان؛ ئۇلار 1 + 2 + … + D = D(D + 1)/2 گە توختايدۇ. بىرلىكتە: (N − D)/2 − D(D + 1)/2 = (N − D²)/2 − D.
كۋادرات ھەممىنى ئېيتىپ بېرىدۇ. تەڭپۇڭ ئويۇن ئايلىنىش بېشىغا يېرىم بىرلىك تۆلەيدۇ، تەڭپۇڭلۇقتىن يىراقلاشقان ھەر بىر قەدەم ئالدىنقىسىدىن قىممەت.
سىز قىزىلدا تەتۈر دالامبېرنى 100 ئايلىنىش ئوينايسىز، بىر بىرلىكتىن باشلايسىز ۋە بىر بىرلىكلىك تىكىم ھەرگىز ئۇتتۇرمايدۇ. سىز 52 ئۇتۇش ۋە 48 ئۇتتۇرۇش بىلەن ئاخىرلاشتۇرىسىز. ئەھۋالىڭىز قانداق؟ 60 ئۇتۇش ۋە 40 ئۇتتۇرۇش بىلەنچۇ؟
يېشىمنى كۆرسىتىش
جاۋاب 52 ئۇتۇشتا −38 بىرلىك، 60 تا +170. ئۇتۇشتىكى كىچىك ئالدىدا بولۇش يەنىلا زىيان تارتىدۇ؛ پەقەت چوڭ ئالدىدا بولۇشلا پايدا بېرىدۇ.
ئۇتۇشلاردىن ئۇتتۇرۇشلارنى ئالغاننى D دەيلى. N ئايلىنىش ئۈچۈن نەتىجە (D² − N)/2 + D.
52 ئۇتۇش ۋە 48 ئۇتتۇرۇش: D = 4، شۇڭا (16 − 100)/2 + 4 = −42 + 4 = −38.
60 ئۇتۇش ۋە 40 ئۇتتۇرۇش: D = 20، شۇڭا (400 − 100)/2 + 20 = 150 + 20 = +170.
نېمە ئۈچۈن: كېيىنكى ئۇتتۇرۇش يوققا چىقارغان ھەر بىر ئۇتۇش جۈپ ھاسىل قىلىدۇ، s دە ئۇتۇپ ئاندىن s + 1 دە ئۇتتۇرۇش، ساپ −1. ئاشقان D ئۇتۇش ئۆرلەش يولىدا 1، 2 … D تىكىملىرىدە قويۇلغان ۋە ھەرگىز يوققا چىقمايدۇ؛ ئۇلار D(D + 1)/2 ئېلىپ كېلىدۇ. N ئايلىنىشتا (N − D)/2 جۈپ ھاسىل بولىدۇ، شۇڭا جەمئىي D(D + 1)/2 − (N − D)/2 = (D² − N)/2 + D.
بۇ ئەسلى دالامبېر قائىدىسىنىڭ بەلگىلىرى ئۆرۈلگىنى: ئۇ يەردە تەڭپۇڭلۇق ئايلىنىش بېشىغا يېرىم بىرلىك ئۇتىدۇ، تەڭپۇڭسىزلىق جازالىنىدۇ؛ بۇ يەردە تەڭپۇڭلۇق ئايلىنىش بېشىغا يېرىم بىرلىككە توختايدۇ، تەڭپۇڭسىزلىق مۇكاپاتلىنىدۇ.
يۇمۇرلۇق ئارام
تەڭگە مەسىلىسىدە خاتالاشقان ماتېماتىكنىڭ نامى بىلەن ئاتالغان.
مەنبەلەر
- RouletteDoc. ئىستراتېگىيە چۈشەندۈرۈشى ۋە مىساللار.
- Roulette77. ئىستراتېگىيە چۈشەندۈرۈشى ۋە مىساللار.
- d’Alembert, J. “Croix ou pile.”
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.